Не бред, а еще хуже Опции

[Skazitel]

Блин...
Я забыл, что это такое. Это очень классная функция..

Как решать? поподставлять сюда "хорошие значения".
Например, единицы, Ноль числителя правой части и пр... посмотреть, что там и как.
Зада чисто олимпиадная, в школе такие не решают вообще.

[Skazitel]

1*f(1)-1*f(1)=f(1/1) => f(1)=0

[BLL]

Мне кажется, что тут не будет решений, отличных от тождественного нуля. Но это нужно доказать.

[Skazitel]

1) Подели на y (можно, раз они сами делят)
2) попробуй поподставлять вместо "x" "-х". Тоже часто помогает и пр...
3) -1*f(1)-1*f(-1)=f(-1) => f(-1)=-f(-1) = 0

[BLL]

y*f(x) - x*f(y) = f(x\y)

f(1)=f(-1)=0

положим y=-1
-f(x)=f(-x)
функция нечетна

положим x=1
-f(y)=f(1/y)

[Fillerm]

Уже спасибо:

1*f(1)-1*f(1)=f(1/1) => f(1)=0

Откуда ты взял, что х=1, y=1 - это решение, только зная это можно сделать вывод о том, что f(1)=0

Мне кажется, что тут не будет решений, отличных от тождественного нуля. Но это нужно доказать.

А тождественный ноль - это что?

1) Подели на y (можно, раз они сами делят)
2) попробуй поподставлять вместо "x" "-х". Тоже часто помогает и пр...

Пробовал... Пока никаких успехов, сложно от чего-то отталкиваться...

-1*f(1)-1*f(-1)=f(-1) => f(-1)=-f(-1) = 0

Хочешь сказать, что она нечётная, точнее, если удалить твой видимо ошибочный минус, чётная? А почему х=1, y=-1 решение? От чего ты отталкиваешься? В правой части ведь бред...

[BLL]

Откуда ты взял, что х=1, y=1 - это решение, только зная это можно сделать вывод о том, что f(1)=0

Ты написал уравнение или тождество?
Все выше написанное справедливо, если ты написал тождество и хочешь найти удовлетворяющую ему функцию f.

А тождественный ноль - это что?

f(x)=0

[Fillerm]

положим y=-1
-f(x)=f(-x)
функция нечетна

положим x=1
-f(y)=f(1/y)

Ага, хорошо, но куда девается часть левой части? -x*f(-1) в первом твоём утверждении и y*f(1) во втором?

Ты написал уравнение или тождество?
Все выше написанное справедливо, если ты написал тождество и хочешь найти удовлетворяющую ему функцию f.

Ааа, понял, ну значит тождество, ты прав.

[Skazitel]

пока появилось еще 2-3мин решио сгруппировать мысли, может поможет тебе, Филь.
Итого.
1) Подставим х=у=1 и получим 1*f(1)-1*f(1)=f(1/1) => f(1)=0
2) В начальное уравнение подставим х=0
y*f(0)-0*f(y)=f(0/y), т.е. y*f(0)=f(0) для ЛЮБЫХ возможных Y. => f(0)=0
3) положим у=-1, получим -f(x)=f(-x)
4) положим положим x=1, -f(y)=f(1/y)
5) x=1, y=-1 => f(-1)=0

из 3 и 4 следует f(x)=-f(-x)=-f(1/x)

[Skazitel]

Ага, хорошо, но куда девается часть левой части? -x*f(-1) в первом твоём утверждении и y*f(1) во втором?

f(-1)=f(1)=0

[Fillerm]

Так, из непонятного:

Подставим х=у=1 и получим 1*f(1)-1*f(1)=f(1/1) => f(1)=0
2) В начальное уравнение подставим х=0 с учетом полученного в п.1 Получим.
y*f(0)-0*f(y)=f(0/y), т.е. y*f(0)=f(0) для ЛЮБЫХ возможных Y. => f(0)=0

Последний вывод? Почему?

из 3 и 4 следует f(x)=-f(-x)=-f(1/x)

Почему? Я может бред сейчас спрошу, но f(x) и f(y) - это что одинаковые функции (выражаются одной и той же формулой)?

[BLL]

Почему? Я может бред сейчас спрошу, но f(x) и f(y) - это что одинаковые функции (выражаются одной и той же формулой)?

Ты не поверишь...

[Fillerm]

Последний вывод? Почему?

Сам уже понял, а вот с нижним вопрос...

[BLL]

f(t)=-f(1/t)
f(t)=-f(-t)
=>
f(t)=g(t)-g(1/t)
g(t)=-g(-t)

y(g(x)-g(1/x))-x(g(y)-g(1/y))=g(x/y)-g(y/x)
(y*g(x)-x*g(y))+(x*g(1/y)-y*g(1/x))=g(x/y)-g(y/x)

Отсюда видно, что при g(t)=t, g(t)=1/t тождество верно.

Получили решения:
f(t)=0
f(t)=t-1/t
f(t)=1/t-t

N.B. Могут быть и другие решения.
f(0) нужно рассмотреть отдельно.

Сообщение отредактировал BLL - January 18 2010, 18:15

[Fillerm]

Мозг вынесен... Мы все умрём...

[BLL]

y*f(x) - x*f(y) = f(x/y)

Положим x=0, y!=0
y*f(0)=f(0)
Если y!=1, то получаем, что f(0)=0.

Сообщение отредактировал BLL - January 18 2010, 18:12

[BLL]

Более общий случай:
g(t)=k*t, t!=0, k in R

f(t)=k*(t-1/t), t!=0, k in R
f(0)=0

[Al-Alex]

это что одинаковые функции (выражаются одной и той же формулой)?

адская жжесть... Ты че пил-то? Этоже 1 и та же функия f. как она может быть разной?

[Skazitel]

Вот чем закончилось решение Филиной задачи!

Прикрепленные файлы

 Skazitel.jpg ( 182,39 килобайт ) Кол-во скачиваний: 11

 

[Fillerm]

Прошу заметить, что оно так и не завершено, т.к. не доказано, что других функций, удовлетворяющих этому тождеству нет, но завтра представлю то, что имеется

А вообще конечно огромное спасибо Лёне и Мише, которые во многом решили эту задачу, а я фактически только пытался понять это решение и записывал! С меня причитается, пока сошлись на шоколадном ford focus, вот так задача! Ещё раз спасибо, вы меня выручили